ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ Η ΛΥΣΗ ΤΟΥ:
Σωτήρης Ε. Λουρίδας *(Ιούλιος 2014)
ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ Η ΛΥΣΗ ΤΟΥ:
1) Γενικά Πρόβλημα σημαίνει κάθε ζήτημα που προβάλλεται για λύση με λογικές – επιστημονικές μεθόδους.
2) Λογικές – επιστημονικές μέθοδοι είναι εκείνες οι μέθοδοι που στηρίζονται στους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής και που είναι κανόνες σε «λειτουργία» της λογικής που αναδύεται κύρια από τον λόγο. Ακόμα και το ποιο απλό πρόβλημα εκτίθεται μέσω της εκφώνησης του που είναι περιγραφή του ζητήματος που θέλουμε να επιλύσουμε. Άρα αν ο διδάσκων ή ο Μαθητής δεν μπορεί να κατανοήσει την εκφώνηση δεν δύναται να επιλύσει κάτι που δεν κατανόησε, ανεξάρτητα από τον βαθμό της ευφυΐας του. Στα δεδομένα ενός προβλήματος συμπεριλαμβάνονται εκτός από τα αριθμητικά και οι βασικές λέξεις ή φράσεις που καθοδηγούν αρκεί να τους δώσουμε τη δέουσα προσοχή και να τις «λειτουργήσουμε». Μία βασική, μάλιστα άποψη του ProblemSolvingείναι ότι η λύση του εκάστοτε προβλήματος είναι «κρυμμένη» εντός της εκφώνησης και επομένως η «λυτική» ικανότητα μετατρέπεται σε «ανιχνευτική» ικανότητα με βάση μία πορεία ανίχνευσης πατημάτων από το σύνολο των δεδομένων έως το σύνολο των ζητουμένων τηρώντας κατά γράμμα τους λογικούς κανόνες.
3) ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:
Τι είναι Αριθμητικό πρόβλημα και πως προσεγγίζεται η ορθή και μεθοδική διδασκαλία του;
« Ένας έμπορος αγόρασε 5 τόνους ενός προϊόντος προς 1,20 Ευρώ το κιλό και πλήρωσε για μεταφορικά 1000 Ευρώ. Έστω (Αν) ότι είχε φύρα 100 κιλά. Πόσο θα πρέπει να πωλήσει το κιλό ώστε (για να…) να έχει καθαρό κέρδος 2800 Ευρώ; » Εδώ έχουμε μία αριθμητική πρόταση ενός φαινομένου που ζητείται να βρεθεί η τιμή ενός ποσού που εξαρτάται από τις γνωστές τιμές άλλων ποσών που περιέχονται στην πρόταση αυτή. Η πρόταση αυτή είναι ένα Αριθμητικό Πρόβλημα. Η αναζήτηση και εύρεση της άγνωστης τιμής είναι η λύση του προβλήματος. Εδώ αναδύεται η εξής βασική «απορία»:
Πώς θα λυθεί το πρόβλημα, δηλαδή με ποιο τρόπο – μέθοδο θα αναζητήσουμε και θα υπολογίσουμε την άγνωστη τιμή;
Εκείνο που πρέπει να παρατηρήσουμε είναι ότι στο πρόβλημα μας υπάρχει μία αλυσιδωτή σειρά από απλές ενέργειες του εμπόρου. Η πρώτη είναι ότι αγόρασε 5 τόνους (=5000 κιλά) προϊόντος προς 1,20 Ευρώ το κιλό. Η δεύτερη είναι ότι πλήρωσε για μεταφορικά 1000 Ευρώ. Η Τρίτη είναι ότι είχε φύρα 100 κιλά προϊόντος. Η τέταρτη είναι ότι επιθυμεί ολικό κέρδος 2800 Ευρώ. Έτσι πάμε να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόσο τελικά θα πρέπει να πουλήσει το κιλό.
4) Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ…
Επομένως για να επιλυθεί το παραπάνω Αριθμητικό Πρόβλημα θα λάβουμε υπ’ όψη ότι δύναται να αναλυθεί σε μία σειρά Απλών Προβλημάτων που το κάθε ένα θα μπορούσε να «αντιμετωπιστεί» ξεχωριστά με ξεχωριστό συλλογισμό και που θα μας οδηγήσει σε μία από τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις και έτσι να βρεθεί η λύση του.
Το 1ο Πρόβλημα: Οι 5 τόνοι πόσα κιλά αντιπροσωπεύουν; Λύση: Οι 5 τόνοι αντιπροσωπεύουν 5Χ1000=5000 κιλά.
Το 2ο Πρόβλημα: Ένας έμπορος αγόρασε 5000 κιλά προϊόντος και πλήρωσε 1,20 Ευρώ το κιλό. Πόσα χρήματα πλήρωσε; Λύση: Πλήρωσε 1,20Χ5000=6000 Ευρώ.
Το 3ο Πρόβλημα: Ένας έμπορος πλήρωσε για μεταφορικά ενός προϊόντος αξίας 6000 Ευρώ, 1000 ευρώ. Πόσο του κόστισε; Λύση: Του κόστισε 6000+ 1000=7000 Ευρώ.
Το 4ο Πρόβλημα: Ένας έμπορος αγόρασε 5000 κιλά ενός προϊόντος και είχε φύρα (=ελάττωση ποσότητας υλικού από διάφορα αίτια) 100 κιλά. Πόσα κιλά του απέμειναν; Λύση: Του απέμειναν 5000-100=4900 κιλά. Το 5ο Πρόβλημα: Ένας έμπορος πούλησε ένα προϊόν που του κόστισε 7000 Ευρώ κερδίζοντας 2800 Ευρώ. Πόσα εισέπραξε; Λύση: Εισέπραξε 7000+2800=9800 Ευρώ. Το 6ο Πρόβλημα: Ένας έμπορος πούλησε (τελικά και μετά την «αφαίρεση» της φύρας) 4900 κιλά προϊόντος και εισέπραξε 9800 Ευρώ. Πόσο πούλησε το 1 κιλό; Λύση: Η αξία πώλησης του ενός κιλού είναι 9800: 4900=2 Ευρώ.
Η σημαντική παρατήρηση που κάνουμε εδώ είναι η εξής:
Η λύση του προβλήματος ακολουθεί την ίδια ακριβώς πορεία που «χάραξαν» οι διαδοχικές (επαγωγική κατασκευή) ενέργειες του εμπόρου οπότε με μία σειρά απλών συλλογισμών για τους οποίους μας «καθοδηγεί» η ίδια η αρχιτεκτονική του προβλήματος καταλήγουμε στην απάντηση. Συνεπώς κατά τη διδασκαλία για την λύση Αριθμητικών προβλημάτων θα πρέπει:
1ο) Ο μαθητής να ασκηθεί στο ξεχώρισμα των στοιχείων του προβλήματος και στην διάταξη τους σε φυσική σειρά, 2ο) Ο Μαθητής να εξοικειωθεί στην εύκολη ανεύρεση και έκφραση των κατάλληλων αριθμητικών σχέσεων που συνδέουν τα διάφορα ποσά (δεδομένα) του προβλήματος με το ζητούμενο και οι οποίες συνθέτουν την λύση του, 3ο) Να ασκηθεί στην ορθή και σύντομη εκτέλεση των στοιχειωδών αριθμητικών πράξεων για να φτάνει σύντομα και με ασφάλεια σε ορθά αποτελέσματα.
Μία άποψη που απορρέει από το βιβλίο «Σχολείο και Παιδί» που συνέγραψε ο Dewey: «Στην αγωγή αληθινό ενδιαφέρον υπάρχει μόνο όταν το Εγώ ταυτίζεται με μία Ιδέα ή με ένα αντικείμενο.
Αυτό σημαίνει ότι για να κινηθεί το ενδιαφέρον του παιδιού οφείλουμε να φροντίζουμε ώστε το περιεχόμενο του Μαθηματικού – Αριθμητικού προβλήματος να είναι κάτι από την προσωπική του πείρα την οποία έχουμε χρέος να διευρύνουμε όσο το δυνατό περισσότερο φέροντας το σε άμεση επαφή με τα γύρω του πράγματα δηλαδή φέροντας το σε άμεση επαφή με την ζωή. Καλό θα είναι επίσης να ενθαρρύνουμε τους Μαθητές να κατασκευάζουν αντίστοιχα προβλήματα από εκείνα που ήδη διδάχθηκαν από εμάς. Ας μη ξεχνάμε ότι δεινός λύτης θεωρείται ο λύτης εκείνος που «εισέρχεται» στον κατασκευαστικό πυρήνα του προβλήματος που προσπαθεί να επιλύσει. Θα πρέπει επίσης να δίνουμε τα εύσημα όχι μόνο στην επίτευξη της λύσης αλλά και σε κάθε ιδέα που οδηγεί σε λύση. Τέλος σημαντικό ρόλο παίζει και η διαχείριση της πιθανόν λάθος σκέψης του Μαθητή με σκοπό να κάνουμε εκτροπή προς τη σωστή σκέψη.
5) ΕΠΑΦΗ ΜΕ ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ:
Ο ορισμός: Για να εκφράσουμε με ένα αριθμό ένα μέρος ενός ποσού χρησιμοποιούμε τα κλάσματα. Για παράδειγμα για να εκφράσουμε ότι στους 50 μαθητές οι 4 ήταν απόντες γράφουμε ότι τα των Μαθητών ήταν απόντες αλλά αναφερόμαστε και στο γεγονός ότι η αξία ενός κλάσματος δεν μεταβάλλεται όταν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του με τον ίδιο αριθμό, δηλαδή οπότε ισοδύναμα θα μπορούσαμε να αποδώσουμε και: Απουσίαζαν τα των Μαθητών. Η έκφραση όλων των κλασμάτων με παρονομαστή 100, συνηθίζεται να γίνεται για την διευκόλυνση των υπολογισμών. Εξηγούμε ότι την έκφραση «στους 100 Μαθητές οι 8 είναι απόντες την συμβολίζουμε 8% με το σύμβολο % να διαβάζεται «τόσο στα 100». Αφού εξηγηθούν αυτά ως προς τις «μεταφράσεις» από τα Ελληνικά στα Μαθηματικά και Αντίστροφα παραθέτουμε στα παιδιά όρους που είναι γνωστοί από την καθημερινότητα μας και που θα συσχετιστούν με το θέμα μας (Ποσοστά), π.χ. Τιμή αγοράς, τιμή πώλησης, κέρδος, ζημία, έκπτωση, αρχικό ποσό, Αυξημένο ποσό =αρχικό ποσό + ποσοστό, Ελαττωμένο ποσό = αρχικό ποσό –ποσοστό κ.τ.λ.
6) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΣΟΣΤΩΝ: Εδώ επίσης καλό θα είναι να μπορέσουμε να κάνουμε μία μεθοδολογική ομαδοποίηση των προβλημάτων για παράδειγμα:
i) Υπολογισμός του ποσοστού στο κόστος.
Π.χ. Ένας βιβλιοπώλης πούλησε ένα βιβλίο που κοστίζει 350 Ευρώ με κέρδος 18%. Πόσα Ευρώ κέρδισε;
1η Λύση: οπότε παίρνουμε ή , ή Ευρώ.
2η Λύση: Μάθαμε ότι η γραφή 18% είναι συντομογραφία του κλάσματος Συνεπώς το πρόβλημα δύναται να λυθεί με ένα απλό πολλαπλασιασμό
ii) Προβλήματα στα οποία τα ποσοστά είναι δύο ή περισσότερα (με χρήση βοηθητικού ποσού;),
Π.χ.1 . Οι ετήσιες απολαβές ενός διευθυντικού στελέχους είναι 27200 Ευρώ. Γίνονται κρατήσεις από διάφορα ταμία, 2% για το α΄ , 5% για το β΄, 4% για το γ΄ . Ποιές είναι οι καθαρές ετήσιες απολαβές για το διευθυντικό αυτό στέλεχος;
Λύση: Επειδή όλα τα ποσοστά αναφέρονται στο ίδιο ποσό μπορούμε να τα αθροίσουμε 2% + 5% + 4% =11% . Άρα συνολικά έχουμε ποσοστό κρατήσεων 11%. Συνεπώς οδηγούμαστε στην κατάταξη που ακολουθεί: που οδηγεί στη λύση ήx=272x11 ή x=2992.
Π.χ.2. Ένας εργαζόμενος ξοδεύει τα 3/4 του ημερομισθίου του. Αν ξόδευε 5% του ημερομισθίου του περισσότερο θα του περίσσευαν 168 Ευρώ. Ποιο είναι το ημερομίσθιο του τεχνίτη;
Λύση: Επειδή έχουμε παρονομαστή τον 4 θα επιλέξουμε ως βοηθητικό ποσό το για να επιτύχουμε απλοποιήσεις. Επομένως υποθέτουμε (πιθανόν ψευδώς) ότι το ημερομίσθιο ήταν 400 Ευρώ. Τα αρχικά του έξοδα θα ήταν Όταν αυξήσει τα έξοδα του κατά 5% παίρνουμε Ευρώ, συνεπώς θα ξόδευε 300+20=320 Ευρώ και θα του περίσσευαν 400-320=80 Ευρώ. Έτσι οδηγούμεθα στην εξής κατάταξη: και επιλύουμε κατά τα γνωστά.
iii) Υπολογισμός του ποσοστού και στην τιμή πώλησης.
Π.χ. Έμπορος πουλά εμπόρευμα με κέρδος 10% στην τιμή πώλησης. Πόσο στα % κερδίζει στην τιμή αγορά;
Λύση: κατάταξη: οπότε κατά τα γνωστά παίρνουμε ή συνεπώς κερδίζει στα %, , δηλαδή %.
Θα πρέπει εν τέλει να ληφθεί υπ’ όψη πως οι μαθητές θα έρθουν αργότερα σε επαφή με τις έννοιες: Μερισμός αριθμού σε μέρη ανάλογα προς άλλους δοθέντες αριθμούς, γεωμετρικός χωρισμός σε μέρη ανάλογα δοθέντος σχήματος (π.χ. το γνωστό πρόβλημα τις πίτσας κ.τ.λ.)
*Ο Σωτήρης Λουρίδας είναι επιστημονικός συνεργάτης του Συνδέσμου μας Μέλος της γραμματείας της συντακτικής επιτροπής της Μαθηματικής Εταιρείας